f(z)是整函数,如果在整个复平面上有|f(z)|≥1,证明f(z)必为常数.
问题描述：
f(z)是整函数,如果在整个复平面上有|f(z)|≥1,证明f(z)必为常数.
答
f(z)是整函数,所以无穷远点是整函数的孤立奇点.下证z=无穷是f(z)的可去奇点.
否则,若为n次多项式或超越整函数,则可写成Σαk(z)^k
由代数基本定理,任何n次代数方程至少有一根.
则至少存在z0,使f(z0)=0.与|f(z)|>1矛盾
从而z=无穷是可去奇点
故f(z)必为常数.