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以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC．试说明： （1）EF=EC； （2）EB⊥CF．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 15:51:43
问题描述：

以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC．试说明：

（1）EF=EC；
（2）EB⊥CF．

答

证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴AB=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°+60°=150°，
∠EBF=360°-60°×2-90°=150°，
∴∠EBF=∠CBE，
在△BCE和△BFE中，

AB＝BE
∠EBF＝∠CBE
BC＝BF
，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴EF=EC；
（2）∵△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF=EC，
∴EB⊥CF．

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