微积分中如何判断函数在一个区间内是否可导且连续

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• 积分存在的条件是什么啊?若说一个函数A的原函数存在和说这个函数A的积分存在意思是一样的吗?说一个函数的原函数存在和 问一个函数在一段区间内可积 所用的判定条件一样吗?比如说下1、若一个函数在区间I上存在第一类间断点，则其在I中不存在原函数。2、一函数f(x)在[a,b]上连续，则其在[a,b]可积。3、一函数f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点，则其在[a,b]可积。4、一函数f(x)在[a,b]单调，则其在[a,b]可积。这四个判断规则是我从书上看到的 有点小问题1规则说f(x)有第一类间断点则其无原函数，而2规则说有有限个间断点则可积，这是怎么回事？一个可积的函数能没有原函数吗？
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• 有关z=f(x,y)是否可微的判断问题!我知道有推论：若z=f(x,y)的偏导数在（a,b）点连续,则z=f(x,y)在（a,b）点可微.1、若有题目,函数 z=f(x,y),判断在（0,0）处是否可微,能否这样做?直接对x和y求偏导,得到两式,然后判断这两个式子在（0,0）是否连续,若都连续,则z=f(x,y）在（0,0）处是否可微.2、请问是否要当z=f(x,y)对x和对y的偏导数都连续,z=f(x,y)才在（a,b）点可微?老师不是这么做的，是求一个极限，那个极限我电脑上打不出，那个极限分子是 △z-ez/ex在（0，0）处值 - ez/ey 在（0，0）处值,分母是 根号下 △x 的平方 + △y 的平方 ,当△x——>0，△y——>0，时的极限，当极限为0，则全微分存在。难道只能这样做吗？用1中的不行吗？（以上，e 代表哪个倒过来的 e 的符号）
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• 如果一个函数在某区间内连续可导...(高手请进)如果一个函数在某区间内连续可导,且在有限个点处,导数为零,那么这些点不是极值点就是拐点请证明或证伪,拜谢.问题在于书上说了,是否是拐点是由二阶导判断的所以我需要严谨的证明二楼的:一阶导为零也不一定是极值点的,比如X的三次方在X=0处,就不是极值点,而是拐点可以想象,一阶导在某点为零,如果两边异号,则它是极值点;如果两点同号,则一边趋近于零,一边远离零,即一边递增,一边递减,导数递增为凹,导数递减为凸.问题是我不知道二阶导存不存在
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