函数y=logax(a>0,a≠1)在区间[2,+∞)上恒有|y|>1,则实数a的取值范围是_.

问题描述:

函数y=logax(a>0,a≠1)在区间[2,+∞)上恒有|y|>1,则实数a的取值范围是______.

由题意可得,当x≥2时,|logax|>1 恒成立.
若a>1,函数y=logax 是增函数,不等式|logax|>1 即 logax>1,∴loga2>1=logaa,解得 1<a<2.
若 1>a>0,函数y=logax 是减函数,函数y=log

1
a
x 是增函数,不等式|logax|>1 即 log
1
a
x
>1.
∴有log
1
a
2
>1=log
1
a
1
a
,解得 1<
1
a
<2,解得
1
2
<a<1.
综上可得,实数a的取值范围是 (
1
2
,1)∪(1,2)

故答案为 (
1
2
,1)∪(1,2)