如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点． （1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|co
问题描述：
如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．
答
（1）设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4
因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；
（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．
则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴|FA|＝
4 1−cosα
同理|FB|＝
4 1+cosα
记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
=|FA|+|FB| 2
(|FA|−|FB|)=1 2
4cosα sin2α
∴|FP|=
=|FE| cosα
4 sin2α
∴|FP|-|FP|cos2α=
（1-cos2α）=8．4 sin2α