试证:如果A的主子式全大于零,那么A是正定矩阵,这题该怎么解?
问题描述：
试证:如果A的主子式全大于零,那么A是正定矩阵,这题该怎么解?
答
只需要顺序主子式大于零就够了,用归纳法证明存在可逆的下三角矩阵L使得A=LL^T崩溃了，还是不明白最后怎么证明啊先用归纳法证明A=LL^T，这个会证吗把A分块成
A11 A12
A21 A22
其中A11是n-1阶的，并且det(A)=det(A11)det(A22-A21A11^{-1}A12)>0
由归纳假设得存在可逆下三角阵L11使得A11=L11L11^T
然后假定存在L满足A=LL^T
L=
L11 0
L21 L22
把LL^T乘出来和A对比一下，把L21和L22解出来就行了