设z1是虚数,z2=z1+1/z1是实数,且−1≤z2≤1 (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围; (2)若ω=1−z11+z1,求证:ω为纯虚数.

问题描述:

z1是虚数,z2z1+

1
z1
是实数,且−1≤z2≤1
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围;
(2)若ω=
1−z1
1+z1
,求证:ω为纯虚数.

(1)设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0),则z2=z1+1z1=a+bi+1a+bi=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i∵z2是实数,b≠0,∴有a2+b2=1,即|z1|=1,∴可得z2=2a,由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得−12≤a≤12,即z1的实部的取值范...