设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.
问题描述：
设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.
答
对A做LU分解,用归纳法容易证明L和U具有同样的符号结构（这种矩阵叫M-矩阵）,即L和U的对角元为正数、非对角元为负数（非零的部分）、顺序主子式大于零.
于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆为正数的三角矩阵,A^{-1}=U^{-1}L^{-1}是正矩阵.谢谢 嗯 那可以不用归纳法直接进行证明么？一般来讲含有抽象的n的命题或多或少总要涉及归纳的，只不过有些场合归纳法被隐藏在某些引理的证明当中而已，所以我没有兴趣去寻找非归纳的证法嗯 谢谢