已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个(  ) A.6 B.7 C.8 D.9

问题描述:

已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个(  )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

由题意,建立如图坐标系,水平为x轴,竖直为y轴,
设抛物线解析式为:y=ax2+bx+c,
要使得格点最多,抛物线如图所示:
取整数点D(0,1),E(1,1),F(2,2)代入抛物线的解析式得,
1=a×02+0×b+c,
1=a×12+1×b+c,
2=a×22+2b+c,
解得a=

1
2
,b=
1
2
,c=1,
故y=
1
2
x2-
1
2
x+1,
∴A(-3,7);B(-2,4);C(-1,2);D(0,1);E(1,1)
F(3,4);G(3,4);H(4,7)共8个.
建立坐标系的方法:设方格左下角为(0,0),沿着方格的边沿建立直角坐标系.
取抛物线为y=
1
2
(x-3)(x-4),
则它能经过8个格点:(0,6),(1,3),(2,1),(3,0),(4,0),(5,1),(6,3),(7,6).
对于任意的二次函数,如果我们依次考察x=0,1,2,…,8时的值,并依次用后一个值减去前一个值,总得到一个等差数列.要使经过的格点尽量多,则这个等差数列的公差要尽量小,且为整数. 因此,令公差为1,这相当于取二次项系数为
1
2

验证:如果抛物线经过9个格点,那么在抛物线的顶点及一侧至少经过5个格点,由于这5个格点的横坐标都差1,考虑到抛物线的递增或递减趋势,这5点的纵坐标的极差不小于1+2+3+4=10,显然这5个格点不全在8×8网格之内.
故选C.