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如图1，顶点为B（r，t+6），的抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，6），t≠0，连接AB，P是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线（垂足为D），交抛物线y=ax2+bx+c于点C，设点P的横坐标为m，AC、AB、BC围成的图

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:30:19
问题描述：

如图1，顶点为B（r，t+6），的抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，6），t≠0，连接AB，P是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线（垂足为D），交抛物线y=ax2+bx+c于点C，设点P的横坐标为m，AC、AB、BC围成的图形面积为S，点P，C之间的距离为d，s是m的二次函数，图象如图2所示，Q为顶点，O，E为其与m轴的两个交点．
（1）求s与m的函数关系；
（2）求r的值；
（3）求d与m函数关系式；
（4）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式．

答

（1）由图2可知，抛物线的顶点Q（2，4），且过点E（4，0），
设S=a（m-2）2+4，
将点E（4，0）代入得，0=a（4-2）2+4，
解得：a=-1，
故可得：S=-（m-2）2+4．
（2）由图1可知，当点P与A或B重合时，s=0，由图2知，此时点P的横坐标为0或4，
所以点B（4，t+6），从而r=4．
（3）过点A作直线PC，直线x=4的垂线，垂足分别为M，N，且AN=4，
∵S=

1
2
PC•AM+
1
2
PC•MN=
1
2
AN•PC=2PC=2d，
∴d=
1
2
s=-
1
2
（m-2）2+2=-
1
2
m2+2m．
（4）抛物线y=ax2+bx+c的顶点B（4，t+6），且过A（0，6），
可设抛物线为y=a（x-4）2+t+6，
将A（0，6）代入得：6=16a+t+6，
解得：a=−
1
16
t，
所以y=−
1
16
t（x-4）2+t+6，
因为直线AB过A（0，6），可设其解析式为y=kx+6，
将B（4，t+6）代入得，t+6=4k+6，解得，k=
1
4
t，所以直线AB：y=
1
4
tx+6，
因而点P（m，
1
4
tm+6 ），点C（ m，−
1
16
t（m-4）2+t+6 ），
PC=d=
1
4
tm+6-[−
1
16
t（m-4）2+t+6]=
1
16
tm2-
1
4
tm，
因为当m=2时，d=2，所以
1
16
t×22-
1
4
t×2=2，即解得t=-8，
因而所求抛物线为y=
1
2
（x-4）2-2．

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