设函数f(x)是定义在R上的函数,证明：1、|f(x)|=f(x)sgn[f(x)].2、f(x)等于一个奇函数与偶函数的和
问题描述：
设函数f(x)是定义在R上的函数,证明：1、|f(x)|=f(x)sgn[f(x)].2、f(x)等于一个奇函数与偶函数的和
答
1.首先
sgn[f(x)]=1,(x>0)
sgn[f(x)]=0 (x=0)
sgn[f(x)]=-1(xf(x)>0 时, |f(x)|=f(x)=f(x)*1=f(x)sgn[f(x)]
f(x)=0 时, |f(x)|=0=f(x)sgn[f(x)]
f(x)所以结论成立；
2.f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
其中[f(x)+f(-x)]/2为偶函数,因为[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2；
[f(x)-f(-x)]/2为奇函数,因为 [f(-x)-f(x)]/2)=-[f(x)-f(-x)]/2.嗯。。。第一个还是不太明白，为什么是sgn[f(x)]=1,(x>0)，而不是sgn x=1,(x>o)呢？去掉|f(x)|的绝对值时，考虑的是f(x)的符号，而不是x的符号，所以是sgn[f(x)],而不是sgn(x).