过双曲线的左焦点F(-C.0)C大于0与圆X^2+Y^2=A^2/4相切与E 延长EF交于双曲线右支点P 若OE=0.5(OF+OP) 求e.

向量OE=1/2(OF+OP),说明OE是△OFP中边FP的中线,即点E是FP的中点.
设(-C,0)是左焦点F1,(C,0)是右焦点F2,则点O是线段F1 F2的中点.
所以OE是△PF1 F2的中位线,因为OE是圆的半径,OE=a/2,
所以P F2=a.
因为EF是切线,所以△OEF是直角三角形,
EF=√(0F^2-OE^2)= √(c^2-a^2/4)
因为E是FP的中点,所以PF1=2 EF=2√(c^2-a^2/4),
根据双曲线定义：PF1 -P F2=2a,
即2√(c^2-a^2/4)-a=2a,2√(c^2-a^2/4=3a,
平方得：4 c^2-a^2=9 a^2,4 c^2=10 a^2,
C/a=√10/2.
即离心率e=√10/2.
D是BC的中点,则向量AD=1/2(AB+AC),
又向量BC=AC -AB,
因为向量AD*BC=1/2(a^2-√3ac)
即1/2(AB+AC)( AC -AB) =1/2(a^2-√3ac)
AC² -AB²=a^2-√3ac
b^2-c^2= a^2-√3ac
a^2+ c^2- b^2=√3ac
所以cosB=( a^2+ c^2- b^2)/(2 ac)= √3/2,
B=π/6.