求极限lim(n→无穷大)sin{[根号(n^2+1)]*π}(要求运用“夹逼准则”来解,老师给的提示是利用X>=sinX)
问题描述:
求极限lim(n→无穷大)sin{[根号(n^2+1)]*π}(要求运用“夹逼准则”来解,老师给的提示是利用X>=sinX)
答
√n² <√(n²+1) <√[n²+1+1/(4n²)]即 n <√(n²+1) < n + 1/(2n) lim(n→∞)sin(nπ)= 0 lim(n→∞)sin{[n+1/(2n)]π} = lim(n→∞) [sin(nπ)cos(π/2n)+ cos(nπ)sin(π/2n)]...“n <√(n²+1) < n + 1/(2n)”—→“sin nπ <sin(√(n²+1))π <sin(n + 1/(2n))π”为什么可以这样转化的?x→无穷 时sinX不是单调的呀当n→∞时,在区间[nπ ,nπ+π/(2n)] 内,y=sinx是单调的,因此上式是可以这样转化的。