矩阵的特征多项式是什么

线性代数学习心得
文/小潘
各位学友好!
首先让我们分析一下线性代数考试卷（本人以1999年上半年和下半年为例）
我个人让为,先做计算题,填空题,然后证明题,选择题等（一定要坚持先易后难的原则,一定要.旁边有某些同志说：“这些都是屁话,我们都知的快转入正题吧!”）
把选择题第8题拉出来让大家看看
n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份必要条件是（）
A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩阵
B．A是各阶顺序主子式均大于等于零（书本的p231定5.9知,大于零就可以了,明显也是错的）
C．二次型f(x)=xTAx的负惯性指数为零
D．存在n阶矩阵C,使得A=CTC（由书本的P230知,存在非奇异N阶矩阵C,使A=CTC)很明显,这个选择是错了）
各位学友在做选择题时要仔细呀!
证明题
先讲1999年下半年
设A,B,C均为n阶矩阵,若ABC=I,这里I为单位矩阵,求证：B为可逆矩阵,且写出的逆矩阵?
己知ABC=I,|ABC|=|I|不等于零,|A|*|B|*|C|不等于零,得出|B|不等于零.所以B是可逆矩阵.
求其逆矩阵,ABC=I,两边同时右乘C-1得AB=C-1,接下来左乘以A-1得B=A-1C-1,最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位学友有没有更简便的方法谢谢告之）
对这题做后的心得,本人认为一定要记得,a逆阵可逆的充分必要条件是行列式|a|不等零（切记,还有如ab=i,那么a-1=b）
对了还有,在求解逆矩阵,最简单方法是用初等行变换
公式法吗!容易出错,只适合求解比较特殊的
下面这些是相关的证明题
设B矩阵可逆,A矩阵与B矩阵同阶.且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵?（相信大家都能做出）
己知i+ab可逆,试证I+BA也可逆?
接下来看看1999年上半年的
设n阶方阵A与B相似,证明：A和B有相同的特征多项式?
应搞清楚下面的概念
什么是特征多项式呢（1）
什么是特征值呢（2）
什么还有特征向量（3）
什么是相似矩阵（4）
λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵,而由些求出的全部根,即为A的全部特征值.
对每一个求出特征值λ,求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1,&2,&3...&s,则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全为零）
相似矩阵：设A,B都是n阶方阵,若存在n阶可逆阵p,使得p-1ap=b,则称A相似于B,记为A~B(相拟矩阵有相同的行列式,相同的秩,相同的特征值）
我觉得有这么一题使终我还是一知半解的,拉出来让大家看看：
设A为4阶方阵,A*为A的伴随矩阵,若|A|=3,则|A*|=?,|2A*|=?
这题答案是27,432
怎么算的呢?这个具体我也不太清楚,我是用自己的方法,|A|N-1=|A*|,这个N代表多少阶,如是4阶那么3^3=27,后面那个,切记：把2提出行列式以外,看A是几阶行列式,4阶就提4次,2^4*3^3=432(可能书上不是这样的,我只是根据其习题答案推论出来的）
应注意的问题：区为行列式和矩阵之间的区别,特别是用一个不为零的数K乘以行列式或矩阵,前者只是乘以某一行或列,后者则是每一个元素都要乘!
很容易搞不零清的：线性相关或无关和什么情况下线性方程组有解或无解,还有什么极大无关组,基础解系,特征值,多项式,特征向量,相似矩阵有哪些性质,正交矩阵的充分心要条件,二次型化成标准型.