已知关于x,y的方程|6-x|+|x-2|+|y+2|+|y+3|=5,试求xy的最大值和最小值

问题描述:

已知关于x,y的方程|6-x|+|x-2|+|y+2|+|y+3|=5,试求xy的最大值和最小值
还是那句话.

⑴当x>6时
若y>-2,则
原式左边=x-6+x-2+y+2+y+3=2x+2y-3>2×6+2×(-2)-3=5
若-3≤y≤-2,则
原式左边=x-6+x-2-y-2+y+3=2x-7>2×6-7=5
若y<-3,则
原式左边=x-6+x-2-y-2-y-3=2x-2y-13>2×6-2×(-3)-13=5
⑵当2≤x≤6时
若y>-2,则
原式左边=6-x+x-2+y+2+y+3=2y+9>2×(-2)+9=5
若-3≤y≤-2,则
原式左边=6-x+x-2-y-2+y+3=5
若y<-3,则
原式左边=6-x+x-2-y-2-y-3=-2y-1>-2×(-3)-1=5
⑶当x<2时
若y>-2,则
原式左边=6-x+2-x+y+2+y+3=-2x+2y+13>-2×2+2×(-2)+13=5
若-3≤y≤-2,则
原式左边=6-x+2-x-y-2+y+3=-2x+9>-2×2+9=5
若y<-3,则
原式左边=6-x+2-x-y-2-y-3=-2x-2y+3>-2×2-2×(-3)+3=5
可见,除了当2≤x≤6,且-3≤y≤-2时,原式成立外,其它情况原式的左边都比右边大
因此
当x=2,y=-2时,xy的最大值为-4
当x=6,y=-3时,xy的最小值为-18