已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为(  ) A.12 B.22 C.33 D.23

问题描述:

已知椭圆C:

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为(  )
A.
1
2

B.
2
2

C.
3
3

D.
2
3

有定义易知|AB|=

4
3
a
设|AF1|=x
则|AF2|=2a-x|BF1|=
4
3
a
-x|BF2|=2a-(
4
3
a
-x)=
2
3
a
+x
∵AB⊥AF2
∴|AF1|2+|AF2|2=4c2
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
即:
(2a−x)2+x24c2
(2a−x)2+(
4
3
a)
2
= (
2
3
a+x)
2
 ② 

由②得:x=a
代入①,有(2a-a)2+a2=4c2 即a2=2c2
∴离心率e=
c
a
=
2
2

故选B.