已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为( ) A.12 B.22 C.33 D.23
问题描述:
已知椭圆C:
+x2 a2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为( )y2 b2
A.
1 2
B.
2
2
C.
3
3
D.
2 3
答
有定义易知|AB|=
a4 3
设|AF1|=x
则|AF2|=2a-x|BF1|=
a-x|BF2|=2a-(4 3
a-x)=4 3
a+x2 3
∵AB⊥AF2
∴|AF1|2+|AF2|2=4c2
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
即:
(2a−x)2+x2=4c2①
(2a−x)2+(
a)2= (4 3
a+x)2 ② 2 3
由②得:x=a
代入①,有(2a-a)2+a2=4c2 即a2=2c2
∴离心率e=
=c a
2
2
故选B.