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设(X,ρ)是度量空间,F1,F2是它的两个紧子集,求证：∃ xi ∈ Fi ( i = 1,2),使得ρ(F1,F2) = ρ(x1,x2)．其中ρ(F1,F2) = inf {ρ(x,y) | x∈F1,y∈F2 }

分类: 作业答案 • 2021-12-26 11:00:32

问题描述：

设(X,ρ)是度量空间,F1,F2是它的两个紧子集,求证：∃ xi ∈ Fi ( i = 1,2),使得ρ(F1,F2) = ρ(x1,x2)．其中ρ(F1,F2) = inf {ρ(x,y) | x∈F1,y∈F2 }

答

证明：由ρ(F1,F2)的定义,∀n∈⋰+,∃ xi(n) ∈ Fi ( i = 1,2),使得 ρ(x1(n),x2(n))