在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是
问题描述：
在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是
答案我已经知道了,但是怎么证明出来的不理解,具体的过程麻烦的话可以不写,主要是思路,用了什么方法,望高人指点,万分感谢
答
设三棱锥为O-ABC,AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO,
AO=a,BO=b,CO=c,在平面ABC内,过A作AD⊥BC,连接OD,
则OD是AD在平面OBC的射影,所以OD⊥BC,AO⊥OD.
在直角三角形AOD中,由勾股定理有：a^2+OD^2=AD^2,
在直角三角形BOC中,由勾股定理有：b^2+c^2=BC^2.
所以 1/4*BC^2*(a^2+OD^2)=1/4*BC^2*AD^2=(1/2*AD*BC)^2,
即 1/4*(b^2+c^2)*a^2+1/4*BC^2*OD^2=(1/2*AD*BC)^2,
(1/2*ab)^2+(1/2ac)^2+(1/2*OD*BC)^2=(1/2*AD*BC)^2,
即侧面OAB的面积,侧面OAC的面积,侧面OBC的面积之平方和
等于底面的面积的平方.