已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R） （Ⅰ） 证明：函数f（x）是偶函数； （Ⅱ）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； （Ⅲ） 写出函数的值域和单调
问题描述：
已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（Ⅰ） 证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
（Ⅲ） 写出函数的值域和单调区间．
答
（1）∵函数的定义域为R
∴定义域关于原点对称．
∵f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数．
（2）当 x≤-1时，f（x）=-（x-1）-（x+1）=-2x
当-1＜x＜1时，f（x）=-（x-1）+（x+1）=2
当x≥1时，f（x）=（x-1）+（x+1）=2x
综上函数的解析式为f（x）=
−2x， x≤−1 2， −1＜x＜1 2x， x≥1
函数的图象为
（3）由函数f（x）的图象可知函数的值域为[2，+∞），函数的递减区间为（-∞，-1]，函数的递增区间为[1，+∞）．