如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,将抛物线y=-x²+2x+3沿x轴正方向平移,平移后的抛物线交y轴于点F,与x轴的右交点为E点,G为AC的中点,延长GO交EF于点H,是否存在这样的抛
问题描述：
如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,将抛物线y=-x²+2x+3沿x轴正方向平移,平移后的抛物线交y轴于点F,与x轴的右交点为E点,G为AC的中点,延长GO交EF于点H,是否存在这样的抛物线,使得GH⊥EF?若存在,求平移后的抛物线解析式
答
Y=-X^2+2X+3=-(X-1)^2+4,顶点坐标：(1,4),
平移后的顶点设为(m,4),Y=-(X-m)^2+4,
X=0时,Y=4-m^2,Y=0时,X=m±2,
∴F(0,4-m^2),E(m+2,0),
∵G为AC的中点,∴OG=OA,∴∠A=∠GOA,
又∠GOA=∠EOH,
∵GH⊥EF,∴∠EOH=∠F,∴∠A=∠F,
∵tanA=OC/OA=3,
∴tanF=3,即OE/OF=3,
∴(m+2)/|4-m^2|=3,
m=7/3或5/3(不合题意,舍去)
∴平移后抛物线为：Y=-(X-7/3)^2+4.