如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD． （1）求证：BE=AD； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
问题描述：
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
答
（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∠2＝∠1 BA＝CB ∠BAD＝∠CBE＝90°
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE．
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB=EA，
∵AD=BE，
∴AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE，且EM=DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．