已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)(I)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;(II)命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数.如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;(III)在(II)的条件下,比较f(2)与3-lg2的大小.
问题描述:
已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)
(I)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(II)命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数.如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;
(III)在(II)的条件下,比较f(2)与3-lg2的大小.
答
(I)∵f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)∴f(-x)=-g(x)+h(x)∴g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|解得g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+lg|a+2|;(II)∵函数f(x)=...
答案解析:(I)设f(x)=g(x)+h(x),利用函数的奇偶性,组成方程组,即可求得函数的解析式;
(II)将函数f(x)配方,利用函数在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,可得命题P为真的条件;利用函数g(x)=(a+1)x是减函数,可得命题Q为真的条件,从而可求命题P、Q有且仅有一个是真命题,a的取值范围;
(III)由(I)得f(2)=2a+lg|a+2|+6,确定函数v(a)=2a+lg(a+2)+6,在区间[−
,+∞)上为增函数,即可求得结论.3 2
考试点:奇偶性与单调性的综合;复合命题的真假;不等关系与不等式.
知识点:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查函数的单调性,考查大小比较,正确运用函数的单调性是关键.