已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．
问题描述：
已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．
答
（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）∴f（-x）=-g（x）+h（x）∴g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|；（II）∵函数f（x）=...
答案解析：（I）设f（x）=g（x）+h（x），利用函数的奇偶性，组成方程组，即可求得函数的解析式；
（II）将函数f（x）配方，利用函数在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，可得命题P为真的条件；利用函数g（x）=（a+1）x是减函数，可得命题Q为真的条件，从而可求命题P、Q有且仅有一个是真命题，a的取值范围；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，确定函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，在区间[−
，+∞)上为增函数，即可求得结论．3 2
考试点：奇偶性与单调性的综合；复合命题的真假；不等关系与不等式．
知识点：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用函数的单调性是关键．