如图1,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+6与x轴交于A,与y轴交于B,BC⊥AB交x轴于C.①求△ABC的面积.②如图2,D为OA延长线上一动点,以BD为直角边做等腰直角三角形BDE,连接EA.求直线EA的解析式.③点E是y轴正半轴上一点,且∠OAE=30°,AF平分∠OAE,点M是射线AF上一动点,点N是线段AO上一动点,试判断是否存在这样的点M、N,使得OM+NM的值最小?若存在,请写出其最小值,并加以说明.

问题描述:

如图1,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+6与x轴交于A,与y轴交于B,BC⊥AB交x轴于C.

①求△ABC的面积.
②如图2,D为OA延长线上一动点,以BD为直角边做等腰直角三角形BDE,连接EA.求直线EA的解析式.
③点E是y轴正半轴上一点,且∠OAE=30°,AF平分∠OAE,点M是射线AF上一动点,点N是线段AO上一动点,试判断是否存在这样的点M、N,使得OM+NM的值最小?若存在,请写出其最小值,并加以说明.

①求△ABC的面积=36;②过E作EF⊥x轴于F,延长EA交y轴于H.∵△BDE为等腰直角三角形∴DE=DB,∠BDE=90°∵∠BDE=90°∴∠EDF+∠BDO=90°∵∠BOD=90°∴∠BDO+∠DBO=90°∴∠EDF=∠DBO﹙同角的余角相等﹚∵EF⊥X轴∴...
答案解析:①由已知y=x+6,可得出OA=OB=6,∠BAO=∠ABO=45°,再由BC⊥AB求出OC=OB=6,从而求得△ABC的面积.
②首先过E作EF⊥x轴于F延长EA交y轴于H,通过证三角形全等及等量代换先求出H点的坐标,有点斜式写出直线EA的解析式.
③由已知可在线段OA上任取一点N,又由AF是∠OAE的平分线,再在AE作关于OF的对称点N′,当点N运动时,ON′最短为点O到直线AE的距离.由已知∠OAE=30°,得直角三角形,OA=6,所以得OM+NM=3.
考试点:一次函数综合题.


知识点:此题考查的知识点是一次函数的应用及直角三角形的性质应用.关键是通过一次函数和直角三角形的性质求解.