如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG.(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;(2)连接FC,求证:∠FCN=45°;(3)请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
问题描述:
如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,求证:∠FCN=45°;
(3)请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
答
证明:(1)连接DG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,∴DA=BA,EA=GA,∴∠BAD=∠EAG=90°,∴∠DAG=∠BAE,∴△ADG≌△ABE;(2)过F作BN的垂线,设垂足为H,∵∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠HEF...
答案解析:(1)根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE,再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE;
(2)过F作BN的垂线,设垂足为H,首先证△ABE、△EHF全等,然后得AB=EH,BE=FH;然后根据AB=BC=EH,即BE+EC=EC+CH,
得到CH=BE=FH,即可得证.
(3)在AB上取AQ=BE,连接QD,首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等,易证得AG、QD平行且相等,又由于AG、EF平行且相等,所以QD、EF平行且相等,即可得证.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.
知识点:考查全等三角形的判定及平行四边形的判定,难度较大.