如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点,有以下四个命题:①如果AB+DC=BC,则∠BEC=90°;②如果∠BEC=90°,则AB+DC=BC;③如果BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=90°,④如果AB+DC=BC,则CE是∠DCB的平分线,其中真命题的个数是(  )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

问题描述:

如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点,有以下四个命题:
①如果AB+DC=BC,则∠BEC=90°;
②如果∠BEC=90°,则AB+DC=BC;
③如果BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=90°,
④如果AB+DC=BC,则CE是∠DCB的平分线,
其中真命题的个数是(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

过点E作EF∥CD,
∵AB∥DC,E是AD的中点,
∴AB∥EF∥CD,EF=

1
2
(AB+CD);
①∵AB+DC=BC,
∴EF=
1
2
BC,
∴∠BEC=90°;正确;
②∵∠BEC=90°,
∴EF=
1
2
BC,
∴AB+DC=BC;正确;
③∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠FBE,
∵AB∥EF,
∴∠BEF=∠ABE,
∴∠BEF=∠FBE,
∴EF=BF,
∴EF=
1
2
BC,
∴∠BEC=90°;正确;
④∵AB+DC=BC,
∴EF=CF=
1
2
BC,
∴∠FEC=∠FCE,
∵EF∥CD,
∴∠FEC=∠DCE,
∴∠DCE=∠FCE,
即CE是∠DCB的平分线,正确.
故选D.
答案解析:首先过点E作EF∥CD,由E是AD的中点,可得EF是梯形ABCD的中位线,即可得AB∥EF∥CD,EF=
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2
(AB+CD);
①由AB+DC=BC,可得EF=
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2
BC,即可判定∠BEC=90°;
②如果∠BEC=90°,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可得AB+DC=BC;
③如果BE是∠ABC的平分线,易得EF=
1
2
BC,即可判定∠BEC=90°;
④如果AB+DC=BC,可得EF=CF=
1
2
BC,继而可得CE是∠DCB的平分线,
考试点:梯形;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;命题与定理.

知识点:此题考查了梯形的性质、梯形中位线的性质、直角三角形斜边的中线的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.