顶点为原点O,焦点在X轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC方程为4x+y-20=0.是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足 |OP+OQ|=|OP-OQ|?证明你的结论.
问题描述：
顶点为原点O,焦点在X轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC方程为4x+y-20=0.
是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足 |OP+OQ|=|OP-OQ|?证明你的结论.
答
设抛物线的方程为y^2=2px(p>0),则焦点为（p/2,0)
依题意可设A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2),C(y3^2/2p,y3),
由于B，C在直线4x+y-20=0上
所以将B,C代入得到联立方程
2y2^2/p+y2-20=0
2y3^2/p+y3-20=0
故将两式相减得y2+y3=-p/2,将两式相加得2（y2^2+y3^2)/p+y2+y3=40
即y2^2+y3^2=20p+p^2/4,
由于三角形的重心为抛物线的焦点，所以
y1+y2+y3=0
(y1^2+y2^2+y3^2)/2p=3p/2
故
y1=p/2
y1^2=11p^2/4-20p
因而p^2/4=11p^2/4-20p，解得p=8,
所以抛物线方程为y²=16x
追问
为什么不能设成开口向左的抛物线？
回答
你试着设一下看看呀，道理是通的，看最后的结果是否正确。看是否存在开口向左的抛物线
追问
题中哪些已知能说明开口向右而不是左
答
（I）设抛物线S的方程为y2=2px,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0,结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值,从而解决问题．...