过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则△OAB的重心的坐标是_.
问题描述:
过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则△OAB的重心的坐标是______.
答
设A(x1,y1),B(x2,y2),
抛物线y2=4x焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1
依据抛物线定义,|AB|=x1+x2+2=10,∴x1+x2=8
设直线方程为x=my+1代入y2=4x
得y2-4my-4=0
∴y1y2=-4
∵y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(y1+y2)2+8=4(x1+x2)=32
∴y1+y2=±2
6
△OAB的重心的坐标为(
,
x1+x2
3
)
y1+y2
3
故答案为(
, ±8 3
2 3
)
6