如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,P为△ABC内一点.求证:PA+PB+PC>AB+AC.
问题描述:
如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,P为△ABC内一点.
求证:PA+PB+PC>AB+AC.
答
把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,如图
∴∠CAC′=∠PAP′=60°,AC=AC′,AP=AP′,PC=P′C′,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAC′=120°+60°=180°,
即B,A,C′共线,
∴BC′<BP+PP′+P′C,
即AB+AC<AP+BP+CP.
答案解析:把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,再由图形旋转的性质可得出△APP′为等边三角形,再由∠BAC=120°可知∠BAC′=120°+60°=180°、即B,A,C′共线,根据三角形的三边关系即可得出结论.
考试点:等边三角形的判定与性质;三角形三边关系;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了等边三角形的判断与性质,难度适中,关键是根据题意巧妙地作出辅助线.