已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x),若f(1)=2,则函数y=f(x)+1/f(x)(x>0)的递减区间是_.

问题描述:

已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x),若f(1)=2,则函数y=f(x)+

1
f(x)
(x>0)的递减区间是______.

由题意得,当x>0时,f(x)=f(x•1)=xf(1)=2x.
所以y=f(x)+

1
f(x)
(x>0)=2x+
1
2x
(x>0).
令y′=2-
1
2x2
<0,解得0<x<
1
2

所以函数y=f(x)+
1
f(x)
(x>0)
的递减区间是(0,
1
2
).
故答案为:(0,
1
2
).