设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R(1)若f(1)=2,求a值;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求f(x)的最小值.

问题描述:

设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
(1)若f(1)=2,求a值;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)求f(x)的最小值.

(1)∵f(1)=2,函数f(x)=x2+|x-a|+1,
∴1+|1-a|+1=2,求得 a=1.
(2)对于函数 f(x)=x2+|x-a|+1,
当a=0时,f(x)=x2+|x|+1为偶函数,
当a≠0时,f(x)=x2+|x|+1为非奇非偶函数.
(3)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a-1=(x−

1
2
)2+a+
3
4

若a>
1
2
时,函数f(x)的最小值为f(
1
2
)=a+
3
4
;若a≤
1
2
时,函数f(x)的最小值为f(a)=a2+1.
②当x>a 时,f(x)=x2+x-a+1=(x+
1
2
)
2
-a+
3
4

若a>-
1
2
时,函数f(x)的最小值为f(a)=a2+1;若a≤-
1
2
时,函数f(x)的最小值为f(-
1
2
)=-a+
3
4

答案解析:(1)根据f(1)=2,函数f(x)=x2+|x-a|+1,求得 a的值.
(2)对于函数 f(x)=x2+|x-a|+1,分当a=0时、和当a≠0时两种情况,分别讨论f(x)的奇偶性.
(3)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a-1=(x−
1
2
)
2
+a+
3
4
,分a>
1
2
时和a≤
1
2
时两种情况,分别求得函数f(x)的最小值.②当x>a 时,f(x)=x2+x-a+1=(x+
1
2
)
2
-a+
3
4
,分a>-
1
2
时和当a≤-
1
2
时两种情况,分别求得函数f(x)的最小值.
考试点:绝对值不等式的解法;函数奇偶性的判断.
知识点:本题主要考查带有绝对值的函数,函数的奇偶性的判断,求二次函数的最值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.