如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=22． （1）证明：DE∥平面BCF； （2）
问题描述：
如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=
．
2
2
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=
时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG． 2 3
答
（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴
＝AD DB
，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，AE EC
∴DE∥BC．
又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且BF＝CF＝
．1 2
∵在三棱锥A-BCF中，BC＝
，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．
2
2
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴VF−DEG＝VE−DFG＝
•1 3
•DG•FG•GE=1 2
•1 3
•1 2
•(1 3
•1 3
)•
3
2
＝1 3
．
3
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