证明勾股定理的方法

．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是
a^2+b^2=c^2.
这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.
2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形,如图.
容易看出,
△ABA’ ≌△AA'C .
过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.
于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,
即 a2+b2=c2.
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到（请读者自己证明）.这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式.
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.
以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积.
这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解.
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明.采用的是割补法：
如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”.
赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观.
西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的.据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺.故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法.