微分的原理是什么微分的原理我猜,是无限小的区间的值.但很疑惑,怎么能知/推无限小的情况到底如何呢?这可不是拿显微镜去测啊!

微分的本质就是自变量变化无穷小时 函数值的变化量
对于无穷小的探究是极限理论
对于数学问题的思考 起源于实际问题 但是推理起来要摆脱物质世界的束缚 所以不要用现实的例子来对比数学中的极端问题

就把一个数值看成是无限大或者无限小，比如说无限小的时候，可以看作是趋近于零的数值，只是人们的推测而已，然而永远不可能有无限大或者无限小

你要动态的去看它！
现在你先在函数的曲线上确定两个点a和b
其中呢 a是不动的 b点是运动的 运动轨迹是沿着函数的曲线向a靠拢！
并且在靠拢的过程中，你可以随意将时间静止。当你喊“停！”b就停了，这个时候你就可以得到b在坐标系xoy上的一个坐标！并且相对于a点，b的y值都会有一个“增量”（当然这个增量可正可负了），同时也会有一个微分。
那么在b不断靠近a的过程中呢 这个增量和微分的误差会越来越小！（因为这个误差是比x增量还要高一阶的无穷小！比如说，你把一个细胞放大到肉眼看的见的时候，这时候一个细胞比另一个细胞只多了一个氧原子，那你说这点重量算个啥呢？）当b无限接近a时，微分就可以近似看做那个“增量”了！

其实当年牛顿对这个问题也很疑惑，然后她就开创了微积分的先河

1.几何意义
在二次平面的一条曲线,我们可以考虑它在每一点的斜率的改变.
假设曲线的方程为y=f(x).在x=t时,y=f(t).曲线上的点A的坐标为(t,f(t)).考虑把t增大少许.当x=t+h时,y=f(t+h).曲线上点点的坐标为(t+h,f(t+h)).那么连起A和B的线的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h
当A和B的距离越来越小,也就是说h越来越接近0,那么AB就越来越接近曲线,也越来越接近曲线在A点的切线的斜率.在此,我们可以接入极限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
这一点就是曲线在A点的切线的斜率.同时,这亦是微分的"first principle"
2.写法
一般我们考虑对f(x)微分时,会写df(x)/dx
3.性质
你可以尝试由first principle 得到下列性质
1.d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2.d/dx (sinx) = cosx
3.d/dx (cosx) = -sinx
4.d/dx (tanx) = sec^2 x
等等
范例：由first principle证明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化积)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一个很著名的结果,你可以试着证明.
4.链法则 ( Chain rule)
当我们考虑df(y)/dx 的时候,可以怎样做呢?
我们可以运用链法则
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了链法则,这是细微分