在三角形abc中,ab等于ac,ac上的中线bd把abc分成周长为24和18的2个三角形,求abc三边的长

问题描述:

在三角形abc中,ab等于ac,ac上的中线bd把abc分成周长为24和18的2个三角形,求abc三边的长

设 AB=c,AC=b,BC=a,BD=d
b=c,

设∠BDC=α,由余弦定理
a²=d²+(b/2)²-bdcosα
c²=d²+(b/2)²+bdcosα
两式相加有a²+c²=2d²+b²/2 因为b=c,所以a²+b²/2=2d²
被分成的三角形的周长分别为a+b/2+d=24,c+b/2+d=18
因为b=c,则有

a+b/2+d=24
b+b/2+d=18
a²+b²/2=2d²
解方程组得 a=12 b=6 d=9 或者a=40 b=34 d=-33(舍去)
所以三角形三边长分别为a=12,b=c=6

AB=c,AC=b,BC=a
b=c
c+b/2=3b/2=24,b=16
a+b/2=18,a=18-b/2=18-16/2=10
或:
c+b/2=3b/2=18,b=12
a+b/2=24,a=24-b/2=24-12/2=18
所以
三角形三边的长为:10,16,16,或:18,12,12