若二次函数f(x)=x²+bx+c的顶点的横坐标是2,其图像与x轴交于A、B两点,且|AB|=4,（1）求函数f(x)的解析式；（2）设g(X)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x),写出g(x)的单调区间.
问题描述：
若二次函数f(x)=x²+bx+c的顶点的横坐标是2,其图像与x轴交于A、B两点,且|AB|=4,（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设g(X)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x),写出g(x)的单调区间.
答
1.顶点横坐标为2说明对称轴-b/2=2,所以b=-4。
|AB|=4,可以看成x²+bx+c=0的两根差的绝对值=4，即|X1-X2|=4
|X1-X2|=根号判别式/|a|=4，a=1，b=-4带入得c=0
所以fx=x²-4x
2.当x≥0，f(x)在（0,2]上减，（2，正无穷）上增
所以gx 在（0,2]上减，（2，正无穷）上增
又因为g(X)为定义在R上的偶函数，图像关于y轴对称，所以xgx 在（负无穷,-2)上增，[-2，0）上减
综上gx 在[-2,2]上减 (负无穷,-2)或（2，正无穷）上增
答
（1）-b/2=2 所以b=-4
图像以x=2对称 又|AB|=4,
所以图像和X轴的交点x1和x2的横坐标分别为0和4,带入方程f(x)=0得
c=0
所以,函数的解析式为f(x)=x²-4x
（2）显然,f(x)=图像是定点点为（2,-4),开口向上,与X轴交于(0,0)和（4,0)
当x≥0时,g(x)=f(x),g(X)又为偶函数,所以和y轴对称,可画出图像,略
单调区间为：(-无穷,-2） ,单调递减
[-2,0),单调递增
[0,2),单调递减
[2,+无穷）单调递增