定义域为(0,+∞)的可导函数f(x)满足xf′(x)>f(x)且f(2)=0,则f(x)x<0的解集为(  ) A.(0,2) B.(2,+∞) C.(0,2)∪(2,+∞) D.(0,+∞)

问题描述:

定义域为(0,+∞)的可导函数f(x)满足xf′(x)>f(x)且f(2)=0,则

f(x)
x
<0的解集为(  )
A. (0,2)
B. (2,+∞)
C. (0,2)∪(2,+∞)
D. (0,+∞)

因为xf′(x)>f(x),所以[

f(x)
x
]′=[xf′(x)-f(x)]
1
x2
>0

即F(x)=
f(x)
x
在定义域内递增函数,又因F(2)=
f(2)
2
=0,
则不等式
f(x)
x
<0
的解集就是不等式F(x)<F(2)的解集,解得{x|0<x<2}.
故选A.