数学中的公理和定理的区别是什么

公理是不言自明的道理。定理是用人类的文化推断出来的，动物不一定理解。但是公理是动物也能知道的。赫赫^_^

公理是不可以证明的。比如平行的两条直线永远不会有交点，这是不能证明的。
定理是可以证明的，是由公理推出的。比如两直线平行，内错角，同位角相等。

举个例子，如果要证明一个命题D，必须命题C成立；如要保证命题C成立，则必须命题B成立；如要保成命题B成立，则必须保证命题A成立。如此无限下去，什么命题也无法证明。因此人们必须先设定若干命题无条件正确，才能从这些命题出发得到其他结论。这些无条件正确的命题就是公理。公理不是“不可以证明”，而是无须证明，可以直接使用。定理则都是由公理推导而来。当人们设定的公理不同时，由此推导的定理也不相同。如上面的朋友举的关于平行线的例子，就是建立在欧几里得几何所假设的公理之上的。而在非欧几何中，平行线是有交点的。

公理是经过大量实践证实的真理，是无需证明的；定理是用数学方法推导出来的，它的成立一般有一定的限制条件。

公理是人们在很长的一端时间内反复总结的，也是无法证明的，而定理可以通过几个简单的公理来证明。

公理是不可以证明的。比如平行的两条直线永远不会有交点，这是不能证明的。
定理是可以证明的，是由公理推出的。比如两直线平行，内错角，同位角相等。

楼上各位大部分都没说到现代数学的公理的实质.
公理是一些前提假设,这些前提假设规定了整个理论的最基本的概念之间的关系,它们并不需要任何事实和经验的支持,只要它们本身在逻辑上没有矛盾就可以了.它们不能被推出,因为它们是最基本的东西.所有的定理都是由公理推出来的.
一个典型的例子是非欧几何的基本公理,它们提出时并没有任何事实和经验的支持,而且是违反直观的,尽管后来发现确实有事实支持这样一种几何的存在,但这并不能说明公理一定是需要经验的.

欧几理得的《原本》规定了：
公认的真命题称为公理；
经过证明的真命题称为定理。