已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(β>α>0 ),求不等式cx2+bx+a<0的解集.

问题描述:

已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(β>α>0 ),求不等式cx2+bx+a<0的解集.

由已知不等式可得a<0,因为α、β为方程ax2+bx+c=0的两根,所以

α+β=−
b
a
   ①
α•β=
c
a
       ②

因为a<0,由cx2+bx+a<0得
c
a
x2+
b
a
x+1>0

将①②代入得αβx2-(α+β)x+1>0即(αx-1)(βx-1)>0.因为0<α<β,所以0<
1
β
1
α

所以所求不等式的解集为{x|x<
1
β
或x>
1
α
}.
答案解析:根据题意可分析得到a<0,利用根与系数的关系可得
α+β=−
b
a
   ①
α•β=
c
a
       ②
,代入
c
a
x2+
b
a
x+1>0
可求出不等式cx2+bx+a<0的解集.
考试点:一元二次不等式的解法.
知识点:本题考查一元二次不等式的解法,利用根与系数的关键是解题的关键,考查转化与运算能力,属于中档题.