已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(β>α>0 ),求不等式cx2+bx+a<0的解集.
问题描述:
已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(β>α>0 ),求不等式cx2+bx+a<0的解集.
答
由已知不等式可得a<0,因为α、β为方程ax2+bx+c=0的两根,所以
α+β=−
①b a α•β=
②c a
因为a<0,由cx2+bx+a<0得
x2+c a
x+1>0,b a
将①②代入得αβx2-(α+β)x+1>0即(αx-1)(βx-1)>0.因为0<α<β,所以0<
<1 β
.1 α
所以所求不等式的解集为{x|x<
或x>1 β
}.1 α
答案解析:根据题意可分析得到a<0,利用根与系数的关系可得
,代入
α+β=−
①b a α•β=
②c a
x2+c a
x+1>0可求出不等式cx2+bx+a<0的解集.b a
考试点:一元二次不等式的解法.
知识点:本题考查一元二次不等式的解法,利用根与系数的关键是解题的关键,考查转化与运算能力,属于中档题.