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线代：为什么A(mxn))与B（lxn）的行向量组等价,则方程Ax=0与Bx=0同解有人说,若A,B行向量组等价,则A,B行等价.但我想问,A,B都不是同型矩阵,又何来行等价之说呢

分类: 作业答案 • 2021-12-20 11:48:18
问题描述：

线代：为什么A(mxn))与B（lxn）的行向量组等价,则方程Ax=0与Bx=0同解
有人说,若A,B行向量组等价,则A,B行等价.但我想问,A,B都不是同型矩阵,又何来行等价之说呢

答

等价只要求A,B矩阵的行向量的极大线性无关组个数一样即可,你这么问说明你还不明白啥叫向量组等价!建议翻出课本看看那段说明
Ax=0通过行初等变换,可以得到A'x=0,其中A'是一个A的极大线性无关组构成的矩阵
同理Bx=0可以变换成B'x=0
B',A'的行数必然相等,既然他们等价,存在可逆矩阵P满足
A'=PB',所以A'x=PB'x=0必然同解

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