设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.

（1）分两步来证：
(i) 证明：0在这三个集合中,取k为三个集合中的最小的非负数,下面证明k=0
反证：若k>0,则此时三集合中任何元素互不相等,
不妨设k∈S1,取正数b∈S2,则b-k∈S3,且b-k>0（因为k是最小正数,因此有b>k),
（注意：既然b-k是正数,所以b-k>k）
由b-k∈S3,k∈S1,则b-2k∈S2,又由于k是最小正数,则b-k>k,这样得到b-2k>0,
同理,b-3k∈S3,且b-3k>0,
b-4k∈S2,且b-4k>0
b-5k∈S3,且b-5k>0
.
这样可以无穷做下去,但由于k为正数,这显然是不可能的,因此集合中最小非负数必为0.
(ii) 不妨设0∈S1,下面证明S2=S3
很简单,任取x∈S2,由于0∈S1,则x-0∈S3,即x∈S3
任取y∈S3,由于0∈S1,则y-0∈S2,即y∈S2,这样S2=S3
也就是说,0在哪个集合中,另两个集合必相同.
（2）存在
例如,S1=S2=｛全体奇数｝,S3=｛全体偶数｝,此时条件成立.此时S1与S3无公共元素.