已知二次函数y=x的平方+2a+b-3.x属于R的图像恒过点(2,0),则a的平方+b的平方的最小值为多少?

问题描述:

已知二次函数y=x的平方+2a+b-3.x属于R的图像恒过点(2,0),则a的平方+b的平方的最小值为多少?

解:因为y=(x^2)+2a+b-3,x属于R的图像恒过点(2,0),
所以:将(2,0)代入函数式得
0=4+2a+b-3 即b=-2a-1
所以:(a^2)+(b^2)=(a^2)+[(-2a-1)^2]=5(a^2)+4a+1
设y=5(a^2)+4a+1,则:
当a=-2/5时,y有最小值,y小=1/5
即:(a^2)+(b^2)的最小值是1/5.

:∵二次函数y=x平方+ax+b-3的图像恒过点(2,0)
将(2,0)代入y=x²+ax+b-3
4+2a+b-3=0
得b=-1-2a
∴a²+b²
=a²+(1+2a)²
=5a²+4a+1
=5(a+2/5)²+1/5
∴最小值为1/5

因为恒过点(2,0)
所以2^2+2a+b-3=0
即2a+b+1=0
a^2+b^2
=a^2+(-1-2a)^2
=5a^2+4a+1
=5(a+2/5)^2+3/5
所以当a=-2/5时值最小为3/5