z^nsin(1/z)与sin(z/z 1)在孤立奇点处的留数怎么求?复变函数内容...
问题描述：
z^nsin(1/z)与sin(z/z 1)在孤立奇点处的留数怎么求?复变函数内容...
答
留数是洛朗展式中-1次方项的系数
1、sin(1/z)=1/z - 1/(3!z³) + ...+ (-1)^n/[(2n+1)!z^(2n+1)]+...
若n为奇数,则z^n与上式相乘后没有1/z这一项,因此留数为0
若n为偶数,则z^n与上式相乘后1/z这一项的系数为：(-1)^(n/2)/(n+1)!
2、不知你写的是sin(z/(z-1)),还是sin(z/(z+1)),我按z-1算
孤立奇点为z=1
sin(z/(z-1))=sin(1+1/(z-1))=sin1cos(1/(z-1))+sin(1/(z-1))cos1
cos(1/(z-1))展式中没有1/(z-1)这一项,
sin(1/(z-1))=1/(z-1) - (1/3!)(1/(z-1)²) + .
因此sin(1/(z-1))的展式中1/(z-1)系数为1,再乘以cos1,因此本题留数为cos1
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