已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2,(1)求q关于p的关系式；已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2,(1)求q关于p的关系式； (2)求证：抛物线y=x²+px+q+1与x轴总有交点； (3)当p=-1时,(2)中的抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,A在B的左侧,若P点在抛物线上,当S三角形BPC=4时,求P点的坐标.
问题描述：
已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2,(1)求q关于p的关系式；
已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一个根为2,(1)求q关于p的关系式； (2)求证：抛物线y=x²+px+q+1与x轴总有交点； (3)当p=-1时,(2)中的抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,A在B的左侧,若P点在抛物线上,当S三角形BPC=4时,求P点的坐标.
答
1）代入x=2,得到5+2p+q=0
q=-5-2p
2）由已知,(2,0)点在抛物线上,也在x轴上,即一个交点
3）p=-1时,q=-3
抛物线解析式y=x^2-x-2,A(-1,0) ,B(2,0),C(0,-2)
|BC|=2√2,因已知面积S=4,从而P点到BC的距离是2√2
BC方程y=x-2,从而P点在直线y=x+2或y=x-6上
y=x+2上时,联立两方程,得到x^2-2x-4=0,
解得P(1+√5,1+√5)或P(1-√5,1-√5)
y=x-4上时,联立两方成,得到x^2-2x+4=0
无解
综上,有两个点符合条件