已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.

问题描述:

已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.

设 z=x+yi(x,y∈R),
∵|z|=5,
∴x2+y2=25,①
又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,
∴3x-4y=0②,
且4x+3y≠0③
联立三个关系式①②③解得

x=4
y=3
x=−4
y=−3

∴z=4+3i或z=-4-3i.
答案解析:设 z=x+yi(x,y∈R),由|z|=5,可得x2+y2=25,再利用(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,可得3x-4y=0,且4x+3y≠0,联立解得即可.
考试点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.
知识点:本题考查了复数的有关概念和模的计算公式,属于基础题.