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设F1，F2为椭圆x29+y24＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 09:26:07
问题描述：

设F1，F2为椭圆

x2
9
+
y2
4
＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求
|PF1|
|PF2|
的值．

答

由题意得 a=3，b=2，c=

5
，F1（-
5
，0），F2 （
5
，0）．
当PF2⊥x轴时，P的横坐标为
5
，其纵坐标为±
4
3
，∴
|PF1|
|PF2|
=
2a−
4
3
4
3
=
6−
4
3
4
3
=
7
2
．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|=m，则|PF1|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c2=m2+（6-m）2，即  20=2 m2-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 
|PF1|
|PF2|
=
6−2
2
=2．
综上，
|PF1|
|PF2|
的值等于
7
2
 或2．

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