如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点. (1)求证:EF||平面PBC; (2)求E到平面PBC的距离.

问题描述:

如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点.

(1)求证:EF||平面PBC;
(2)求E到平面PBC的距离.

(1)证明:∵AE=PE,AF=BF,
∴EF∥PB
又EF⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,
故EF∥平面PBC;
(2)在面ABCD内作过F作FH⊥BC于H
∵PC⊥面ABCD,PC⊂面PBC
∴面PBC⊥面ABCD
又面PBC∩面ABCD=BC,FH⊥BC,FH⊂面ABCD∴FH⊥面PBC
又EF||平面PBC,故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH.
在直角三角形FBH中,∠FBC=60°,FB=

a
2
,FH=FBsin∠FBC=
a
2
×sin60°=
a
2
×
3
2
3
4
a,
故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离,
等于
3
4
a.