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在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ①量得OA=3cm； ②把直尺的左边与抛物线的对称轴

分类: 作业答案 • 2021-12-20 09:10:35
问题描述：

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH=

1
6
（EF2-9）．

答

（1）直线x＝

3
2
；
（2）设抛物线的解析式为：y=ax（x-3），
当x＝
3
2
时，y＝−
9
4
a，即B(
3
2
，−
9
4
a)；
当x＝
9
2
时，y＝
27
4
a，即C(
9
2
，
27
4
a)，
依题意得：
27
4
a−(−
9
4
a)＝4.5，
解得：a＝
1
2
，
∴抛物线的解析式为：y＝
1
2
x2−
3
2
x；
（3）证明：过点E作ED⊥FG，垂足为D，
设E(x，
1
2
x2−
3
2
x)，
则F(x+3，
1
2
x2+
3
2
x)，
得：S梯形EFGH=
3
2
(EH+FG)＝
3
2
•[(
1
2
x2−
3
2
x)+(
1
2
x2+
3
2
x)]＝
3
2
x2，
∵
1
6
(EF2−9)＝
1
6
×9x2＝
3
2
x2，
∴S梯形EFGH=
1
6
(EF2−9)．

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