高数题(极限存在准则,两个重要极限)设数列{xn}由下式给出:X0>0,Xn+1=1/2(Xn+ 1/Xn) (n=1,2,.)证明lim Xn 存在,求其值

问题描述:

高数题(极限存在准则,两个重要极限)
设数列{xn}由下式给出:X0>0,Xn+1=1/2(Xn+ 1/Xn) (n=1,2,.)证明lim Xn 存在,求其值

归纳法得xn≥1,n≥1时,{xn}有下界
X(n+1)-Xn=1/2×(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0,所以{Xn}单调减少
所以{Xn}有极限,设极限是a
在Xn+1=1/2(Xn+ 1/Xn)两边取极限,a=1/2(a+1/a),得a=1(由极限的保号性,a=-1舍去)