巳知方程x^3+px^2+qx+r=0,在复数集中的根为x1,x2,x3,求x1^2+x2^2+x3^2和x1^2x2^2+x1^2x3^2+x2^2x3^2的值请写出关键步骤
问题描述：
巳知方程x^3+px^2+qx+r=0,在复数集中的根为x1,x2,x3,求x1^2+x2^2+x3^2和x1^2x2^2+x1^2x3^2+x2^2x3^2的值
请写出关键步骤
答
韦达定理:
设X₁，X₂，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 则有：An(x-x₁)(x-x₂)……(x-xn)=0 所以：An(x-x₁)(x-x₂)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x₁)(x-x₂)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0=[(-1) ]×An×ΠXi 所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) … ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。
从而x1^2+x2^2+x3^2=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=p^2-2q
x1^2x2^2+x1^2x3^2+x2^2x3^2
=(x1x2+x1x3+x2x3)^2-2x1x2x3(x1+x2+x3)
=q^2-2pr
答
因为x1 x2 x3为三根
所以(x-x1)(x-x2)(x-x3)=原式=0
对比系数得x1+x2+x3=-p
x1x2+x2x3+x1x3=q
x1x2x3=r
后面就简单了吧