(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求a取值范围.
问题描述:
(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求a取值范围.
答
知识点:本题考查函数零点,零点与方程的根的关系,体现了数形结合的数学思想.
(1)①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,
则等价于△=4m2-4(3m+4)=0,
即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1
②若f(x)有两个零点且均比-1大,
结合二次函数图象可知只需满足
△=4m2−4(3m+4)>0 −
>−12m 2 f(−1)>0
等价于
⇔
m2−3m−4>0 m<1 1−2m+3m+4>0
,
m>4或m<−1 m<1 m>−5
故-5<m<-1,∴m的取值范围是{m|-5<m<-1}.
(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,
即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根,
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,
由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根,则g(x)与h(x)的图象应有4个交点.
故需满足0<-a<4,即-4<a<0.∴a的取值范围是(-4,0).
答案解析:(1)二次函数结合图象求解,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,等价于△=4m2-4(3m+4)=0.
(2)利用函数图象求解,g(x)=|4x-x2|和h(x)=-a的图象有4个交点,如图所示.
考试点:函数的零点;函数的零点与方程根的关系.
知识点:本题考查函数零点,零点与方程的根的关系,体现了数形结合的数学思想.